Himpunan dalam Matematika

Pengertian Himpunan

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter atau Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.

Contoh:

Himpunan yang merupakan himpunan:

–          Himpunan anak yang berusia 12 tahun

–          Himpunan bilangan asli genap

–          Himpunan pulau-pulau di Indonesia

Himpunan yang bukan merupakan himpunan:

–         Himpunan anak-anak malas

–         Himpunan wanita-wanita cantik

–         Himpunan lukisan indah

2. Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1) dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh:     A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2) menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3) Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Penyelesaian :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

A = {2, 3, 4, 5}

Dengan menulis sifat-sifatnya

A = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

4) Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

3. Keanggotaan Himpunan

Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “Δ sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “Ï”. Dengan demikian aΠH, iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H sedangkan b Ï H, c Ï H dan d Ï H. Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
,  ,  ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen

Contoh :

A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.

Ditulis: aΠA; b Î A; dan c Î A

Bukan keanggotaan suatu himpunan A.

Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.

Ditulis: d Ï A. Banyaknya anggota himpunan

4. Macam-Macam Himpunan

1)      Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2)      Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { }

Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3)      Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.

4)      Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.di notasikan dengan A=B

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5)      Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6)      Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :

A^C = {x│x Є U, x Є A}

7)     Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

5. Operasi pada Himpunan

1. a)      Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.  Dinotasikan A  B

Notasi : A   B = {x | x Є A atau  x Є B}

1. b)      Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A   B = {x | x Є  A dan x Є B}

c)Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan A^c

Notasi : A^c = {x | x Є S dan  x Є A} atau

1. d)     Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B

Notasi : A – B = {x | x Є A dan  x Є B}

1. e) Hasil Kali Kartesius ( cartesion Product )

Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B

Secara matematis dituliskan :

A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}

6. Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1)     Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2)      Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3)      Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4)      Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5)      Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6)      Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

7. Contoh Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.

Soal:

1. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?
2. Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :
3. a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja
4. b)      Orang yang gemar membaca dan melukis saja
5. c)       Orang yang gemar membaca saja
6. d)     Orang yang gemar menulis saja
7. e)      Orang yang gemar melukis saja
8. f)       Orang yang tidak suka ketiganya

Penyelesaian:

1. Perhatikan dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa  yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisansehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja.

Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak  16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :

Musik = 24 – 16 = 8

Olahraga = 30 – 16 = 14

Dengan demikian  himpunan semestanya :

S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.

2.                   Dari soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita  cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :

Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis

1. a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang
2. b)      Orang yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang
3. c)      Orang gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang
4. d)     Orang yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang
5. e)      Orang yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan himpunan kosong
6. f)       Orang yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 orang